有限可定义性概念将导致悖论

法国数学家理查德第一次发现这个悖论，因此常被称为理查德悖论。理查德考察的例子是这样的：考虑可用有限字效定义的一切小数，这构成了一个可列的(可数的)集合，我们可以将这些小数排列成一张表，类似康托的对角线方法，我们定义一个小数a如下，如果在上述数表中第n列小数的第n位数字为1则a的第n位数字为。否则a的第n位数字为1．用这样一句话定义的小数显然是有限宇数可定义的，但a与表中的每一个小数都不相同，因此a不会出现于表中，从而导致矛盾。这个悖论的构造由于与对角线方法有惊人的相似，从而引起了数学界对悖论问题的更进一步的兴趣。莱姆赛后来把当时已经发现的悖论分为两种类型，一种是“逻辑的”，如罗素悖论，一种是认识论的或语义学的，理查德悖论就属于这一种。他指出，逻辑悖论可以由简单类型论而防止，语义学悖论则可以在一符号语言中防止．在那样的符号语言中，将无法表述叙述同一语言的表达式，这也就防止了自指语句的出现．理查德悖论的意义主要在于引起了数学界对悖论的进一步注意，认识到悖论出现有其深刻的原因，从而影响了在数学基础问题上互相对立的三大学派的产生。