不属于自身的集合组成的类不是集合

英国哲学家、逻辑学家伯特兰•罗素于1902年提出的集合论悖论，一般被称为罗素悖论．在上面命题中的表述方式中已经区分了类与集，就不再是悖论而变成一种断言。更好的表述方式是这样的：称由所有不属于自身的元素组成的集合为T，问T是否属于自身?这样导致悖论，论证如下：若T不属于T，则由于T是由所有不属于自身的元素组成的集，而T有这个性质，故T属于T，而从T属于T将得出T的性质是不属于自身的，故T属于T。类似罗素悖论的例子还很多，但它是最简洁的一种，所需的概念最少，只关涉到集合的定义和属于关系．而这正是集合论的根基。难怪弗雷格在他的《基本规律》第二卷中的后记中感叹道：“对于一个科学工作者说来，最不幸的事情无过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，伯特兰•罗索先生给我的一封信便使我陷入这种境地。”悖论产生的根源在于集合的定义。在康托那里，任何具有一定性质的事物的类都可以构成集合，这常被称为概括原则。正是概括原则导致了罗素悖论，因为它所允许的集合太多了，应该在类与集合之间作出区分，有些类实际上并不是集合。这正是弗雷格所建议、后来在罗素的类型论中认真采纳的新观点。罗素悖论对数学影响很大，有人将它对数学的冲击比拟为古希腊时毕达哥拉斯学派对于无理数的发现．后者打碎了整个毕达哥拉斯学派的数学和哲学框架，以至于发现无理数的弟子被迫杀致死，前者则对全部现代数学的基础提出严峻的挑战，直接促成了在数学基础问题上三大学派的产生。他们就是以罗素为代表的逻辑原子主义学派、以布劳维为代表的直觉主义学派和以希尔伯特为领袖的形式主义学派。