较复杂的形式系统是不可完全的

奥地利逻辑学家哥德尔于1931年发现的不完全性定理．所谓较复杂的形式系统，是指包含了一阶算术的任意形式系统．在这样的系统中，哥德尔不完全性定理成立，这表现在两个方面：哥德尔不完全性定理I：较复杂的形式系统中存在着一个命题，其本身和其否定都不是系统中可证的；哥德尔不完全性定理Ⅱ：较复杂的形式系统中其自身一致性不可能在系统中得到证明．不完全性定理的证明方法是很奇妙的，其中利用了编码技术和自指语句，但在这里不能详述．哥德尔不完全性定理影响如此之大，以至于整个三十年代后数理逻辑的发展都受到它的直接或间接推动，可以说它使整个数理逻辑焕然一新。至于哥德尔，也有人把他为亚里士多德后对逻辑贡献最大的人．不完全性定理的直接后果就是宣布严格意义上的希尔伯特方案的破产，这对形式主义学派是个沉重的打击，证明论只好寻求新的发展形式。从有穷方法发展而来的对能行可计算性的研究构成了递归理论，而不完全性定理对模型论和集合论的研究也有很大影响。甚至哥德尔不完全性定耶影响的范围已越出了数学领域，在艺术、哲学和语言学方面也引起了不同程度的反响．这也许是一切深刻的思想所必然具有的特点吧．